Дифференциальное уравнение Бернулли

Найти общее решение дифференциального уравнения Бернулли

x·y' + 2·y + x⁵·y² = 0

Конечно, мы можем решить это дифференциальное уравнение методом Бернулли, разделив обе его части на   y² ≠ 0   и сделав подстановку   t = 1/y.
Но интересно рассмотреть и другие способы решения.

Первый способ
Давайте сразу применим подстановку   y(x) = u(x)·v(x)   или   y = u·v
Тогда   y' = u'·v + u·v'

Подставляя в исходное дифференциальное уравнение, получим:

x·(u'·v + u·v') + 2·u·v + x⁵·u²·v² = x·v·u' + u·[x·v' + 2·v] + x⁵·u²·v² = 0

Подберём такую функцию   v(x), чтобы выражение в квадратных скобках обращалось в ноль:

x·dv/dx + 2·v = 0

Разделим переменные и проинтегрируем:

dv/v + 2·dx/x = 0;   ∫(dv/v + 2·dx/x) = ln|v·x²| = 0

Потенцируем:   v·x² = 1 → v = 1/x²

Решим теперь оставшуюся часть уравнения (без квадратных скобок).

x·v·u' + x⁵·u²·v² = 0
u' + u²·x⁴·v = u' + (x²·v)·x²·u² = u' + (x²/x²)·x²·u² = u' + x²·u² = 0
du/dx + u² = 0

Разделяем переменные и интегрируем.

−du/u² = x²dx; −3·du/u² = 3·x²dx; 3·∫(−du/u²) = 3·∫x²·dx; 3/u = x³ + C → u = 3/(x³ + C)

Тогда   y = u·v = 3/(x²·(x³ + C)) — общее решение дифференциального уравнения.

Второй способ
Рассмотрим и второй вариант решения. Будем исходить из предположения, что формулы дифференцирования мы уже знаем и элементарные дифференциальные уравнения (однородные, с разделяющимися переменными) решать умеем.

Домножим исходное уравнение на   x:

x²·y' + 2·x·y + x⁶·y² = 0

Первые два слагаемых представляют собою производную произведения:

(x²·y)' + x²·(x²·y)² = 0

Применим подстановку   z = x²·y   (это можно сделать и неявным образом).

z' + x²·z² = dz/dx + x²·z² = 0

Разделим переменные и проинтегрируем.

−dz/z² = x²·dx; −3·dz/z² = 3·x²·dx; −3·∫dz/z² = 3·∫x²·dx; 3/z = x³ + C

z = x²·y = 3/(x³ + C)

Общее решение дифференциального уравнения   y = u·v = 3/(x²·(x³ + C))

И традиционно покажу вам неверное решение этого задания, найденное в интернете. Будьте бдительными, уважаемые студенты, и внимательно проверяйте решения задач, выполненные вам всякими шабашниками.

Спойлер: