Однородное дифференциальное уравнение

Найти частное решение однородного дифференциального уравнения
(y² − 3·x²)·dy + 2·x·y·dx = 0, удовлетворяющего начальному условию:
y(0) = 1

---

Уважаемые студенты!
Эта задача, как и многие остальные, рассматривается нами для того, чтобы Вы научились решать их самостоятельно и успешно сдавали контрольные работы и экзамены.
Если у Вас возникли затруднения при самостоятельном решении — выкладывайте задачи с Вашими собственными попытками. Если же Вы хотите заказать выполнение контрольной или курсовой работы — обращайтесь к нам через форму обратной связи.
Успехов в учёбе!

Задачу можно решить, разделив обе части уравнения на   x·y·dy   и применив подстановку   t = x/y.
Но можно поступить иначе. При этом подстановок будет несколько больше, а вычислений — меньше, интеграл — проще.
Домножим обе части уравнения на   2·y:
2·(y² − 3·x²)·y·dy + 4·x·y²·dx = 0
Подстановка:   x² = u;   y² = v
Тогда   2·x·dx = du;   2·y·dy = du
Исходное уравнение запишется в виде:
(v − 3·u)·dv + 2·v·du = 0;   v(0) = 1   или   u(1) = 0
Разделим обе части уравнения на   v·dv:
2·du/dv − 3·u/v + 1 = 0
Новая подстановка:   u = t·v;   t = u/v;   t(1) = 0
du/dv = v·dt/dv + t
Тогда   2·v·dt/dv + 2·t − 3·t + 1 = 0
2·v·dt/dv = t − 1
Разделим переменные:
2·dt/(t − 1) = dv/v
Поскольку в задаче речь идёт о нахождении частного решения дифференциального уравнения, найдём определённый интеграл с учётом начальных условий.
2·ln|t − 1| = ln|v|
Потенцируем и применяем обратные подстановки.
(t − 1)² = v
(u − v)²/v² = v
(u − v)² = v³
(x² − y²)² = y⁶
x² − y² = ±y³
при   x = 0   y = 1. Выбираем знак «минус».
x² = y³ + y² — частное решение дифференциального уравнения.
Для проверки продифференцируем полученное решение.
2·x·dx = (3·y² + 2·y)·dy
2·x·y·dx = (3·y³ + 2·y²)·dy = (3·(x² − y²) + 2·y²)·dy = (3·x² − y²)·dy
(y² − 3·x²)·dy + 2·x·y·dx = 0