FreddyCrueger
Сообщения : 3
Дата регистрации : 2010-02-02
 | | Тема: Сумма степенного ряда Вт Фев 23, 2010 9:33 pm | |
| Найти сумму степенного ряда в области его сходимости.
∑x2n/(n+1) (сумма n=1 до ∞)
Ясно, что область сходимости (-1;1), но вот как найти сумму?? | |
|
5ballov
Admin
Сообщения : 121
Дата регистрации : 2010-01-02
Откуда : Киев
| | Тема: Re: Сумма степенного ряда Вт Фев 23, 2010 10:29 pm | |
| Очевидно, что при x = 0 S = 0Приме́ним подстановку t = x². Тогда | ∞ | | ∞ | | | S = | ∑ | tⁿ/(n + 1) = 1/t · | ∑ | tⁿ⁺¹/(n + 1) = S₁/t | | n=1 | | n=1 | |
Продифференцируем сумму S₁ по t: Ряд S₂(t) представляет собою сумму бесконечной сходящейся геометрической прогрессии со знаменателем 0 < t < 1. Его сумма равна S₂(t) = t/(1 − t). Сумму S₁ найдём с помощью определённого интеграла: \cdot&space;dt}=\int_{0}^{t}{\frac{t\cdot&space;dt}{1-t}}=\int_{0}^{t}{\frac{dt}{1-t}}-\int_{0}^{t}{dt}=\newline\newline=\ln\left|1-t\right|_t^0-t=-t-\ln\left(1-t\right)) Тогда S = S₁/t = −1 − ln(1 − t)/tВозвращаясь к исходной переменной, получим окончательно: S = −1 − ln(1 − x²)/x² | |
|
