Конечно, давайте рассмотрим
В литературе можно прочитать, какие дифференциальные уравнения называются уравнениями Эйлера, и о способах их решения.
Обычно способы решения сводятся к подстановкам вида x = exp(t) или
y = x
k. Найдя общее решение однородного уравнения, решение неоднородного ищут обычно методом вариации произвольной постоянной.
Попытаемся найти решение уравнения более простым способом.
Подстановка y = x·t. Тогда y' = x·t' + t
Вторую производную найдём по формуле Лейбница
y'' = x·t'' + 2·x·t'
Подставим производные в исходное уравнение.
x²·(x·t'' + 2·x·t') − x·(x·t' + t) + x·t = x²·(x·t'' + t') = x/ln x
Разделим обе части уравнения на x² при условии x > 0
x·t'' + t' = 1/(x·ln x)
Вспоминая формулы дифференцирования, замечаем, что в левой части — производная произведения, что позволяет нам найти решение уравнения непосредственным интегрированием, без применения метода вариации произвольной постоянной.
(x·t')' = 1/(x·ln x)
Интегрируем
x·t' = ∫dx/(x·ln x) = ∫d(ln x)/ln x = ln(ln x) + C₁ + 1
t' = (ln(ln x) + C₁ + 1)/x
Интегрируем повторно по частям.
t = ∫(ln(ln x) + C₁ + 1)·dx/x = ∫(ln(ln x) + C₁ + 1)·d(ln x) = [v = ln x] =
= ∫(ln v + C₁ + 1)·dv = v·(ln v + C₁ + 1) − ∫dv = v·(ln v + C₁) + C₂ =
= ln x·(ln(ln x) + C₁) + C₂
y = x·(ln x·(ln(ln x) + C₁) + C₂) — общее решение линейного дифференциального уравнения Эйлера
Форум 
