Производная сложной функции

Предлагаю разобрать пример на нахождение производной сложной функции.
Найти производную функции

y = ln((sin x)/√(cos(2 x)))

$Производная сложной функции Chart?cht=tx&chl=y=\ln\frac{\sin\,x}{\sqrt{\cos(2\,x)}}$

Решение этого примера, найденное на проекте Ответы@mailru, содержит ошибки и является не совсем рациональным. Можно ли решить задачу более грамотно?

Спойлер:

Конечно да! Задачи не только можно, но и нужно решать грамотно!

Применим к подкоренному выражению формулу косинуса двойного аргумента:

cos(2 x) = cos² x − sin² x

Разделим теперь числитель и знаменатель дроби на sin x , внеся sin x под знак квадратного корня:

cos(2 x)/sin x = (cos x/sin x)² − 1 = ctg² x − 1

Получим: y = ln(1/√(ctg² x − 1))

$Производная сложной функции Chart?cht=tx&chl=y=\ln\frac1{\sqrt{\mathrm{ctg}^2\,x-1}$

Теперь применим свойство логарифма: y = − ½ ln(ctg² x − 1)

Дифференцируем по правилам дифференцирования сложных функций.

y' = − ½ (ctg² x − 1)/(ctg² x − 1) = − ½ ·2·ctg x·(ctg x)'/(ctg² x − 1) =

= −ctg x/(−sin² x·(ctg² x − 1) = ctg x/(cos² x − sin² x) = ctg x/cos(2 x)

Окончательно: y' = ctg x · sec(2 x)

» Предел функции
» Предел рациональной тригонометрической функции