Найдём теперь интервал сходимости ряда:
|x − 1| < 2 ⇒ −2 < x − 1 < 2 ⇒ −1 < x < 3
x ∈ (−1; 3) — интервал сходимости ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала.
При x = 3 получаем знакопостоянный ряд
,
общий член которого aռ = 1·3·…·(2·n − 1)/(2·4·…(2·n))
Как я уже писал, признак Даламбера (и равноценный ему радикальный признак Коши), по которому мы определяли границы интервала сходимости, не дадут ответа на вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Необходимо использовать более сильный признак.
Обратимся в признаку Раабе.
aռ₊₁ = 1·3·…·(2·n − 1)·(2·n + 1)/(2·4·…(2·n)·(2·n + 2))
aռ ÷ aռ₊₁ = (2·n + 2)/(2·n + 1); aռ/aռ₊₁ − 1 = 1/(2·n + 1)
n·(aռ/aռ₊₁ − 1) = n/(2·n + 1)
Найдём предел
Еcли p > 1 — то ряд сходится. если p < 1, то расходится.
Поскольку p = ½ < 1, то при x = 3 исследуемый знакопостоянный ряд расходится.